Algebra, WS 2009 - download pdf or read online

By Martin Goldstern

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Example text

Seien A = (A, (ωi )i∈I ) und A∗ = (A∗ , (ωi∗ )i∈I ) Algebren vom selben Typ (ni )i∈I und f : A → A∗ ein Homomorphismus von A nach A∗ . f heißt 1) Isomorphismus, falls f bijektiv (in diesem Fall sagt man: A ist isomorph zu A∗ , in Zeichen: A ∼ = A∗ ), 2) Endomorphismus, falls A = A∗ , 3) Automorphismus, falls A = A∗ und f Isomorphismus, 4) Epimorphismus, falls f surjektiv (in diesem Fall heißt A∗ homomorphes Bild von A), 5) Monomorphismus, falls f injektiv (in diesem Fall heißt A isomorph eingebettet in A∗ ).

Ani πbni [ani ]π = [bni ]π Daher ist [ωi a1 . . ani ]π = [ωi b1 . . bni ]π .      ⇒ ωi a1 . . ani πωi b1 . . bni . 4 Was heißt es, dass eine Funktion wohldefiniert ist? Wenn wir eine Funktion f auf einer Menge X durch eine Rechenvorschrift (etwa einen Term) t definieren, also f (x) := t(x) setzen, dann bedeutet das Wort wohldefiniert“ nur soviel, dass die Rechenvorschrift t tats¨ achlich f¨ ur jede Eingabe x ein Resultat t(x) ” ausgibt. Wenn wir aber f durch eine Formel (∗) f (t1 (x)) := t2 (x) definieren, enth¨ alt diese Definition“ implizit die Behauptung, dass es tats¨ achlich eine Funktion gibt, die ” jedem Element der Form t1 (x) das Element t2 (x) zuordnet.

12 Wegen dieser Charakterisierung sagen wir statt F ist in K frei u ¨ber B“ auch oft: F wird in K von B ” ” frei erzeugt“. 54 Beweis. Sei g : A1 → A2 ein Homomorphismus mit g↾E = f ↾E. Dann ist {x ∈ A1 | g(x) = f (x)} eine Unteralgebra von A1 , die ganz E enth¨alt, muss also ganz A1 sein. 4 Beispiel. Sei K ein K¨ orper, und sei V die Klasse der K-Vektorr¨aume. ) Sei V ∈ V, B ⊆ V . Dann gilt: V ist frei u ¨ber B ⇔ B ist Basis von V . Beweis. Sei B Basis von V . Dann l¨ asst sich jeder Vektor v ∈ V eindeutig als Linearkombination v = i λi bi von Elementen von B darstellen.

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