## Algebra, WS 2009 - download pdf or read online

By Martin Goldstern

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This Elibron Classics publication is a facsimile reprint of a 1904 version through Adam and Charles Black, London.

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Whereas many books were written approximately Bertrand Russell's philosophy and a few on his common sense, I. Grattan-Guinness has written the 1st finished heritage of the mathematical history, content material, and impression of the mathematical common sense and philosophy of arithmetic that Russell constructed with A. N. Whitehead of their Principia mathematica (1910-1913).

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Example text

Seien A = (A, (ωi )i∈I ) und A∗ = (A∗ , (ωi∗ )i∈I ) Algebren vom selben Typ (ni )i∈I und f : A → A∗ ein Homomorphismus von A nach A∗ . f heißt 1) Isomorphismus, falls f bijektiv (in diesem Fall sagt man: A ist isomorph zu A∗ , in Zeichen: A ∼ = A∗ ), 2) Endomorphismus, falls A = A∗ , 3) Automorphismus, falls A = A∗ und f Isomorphismus, 4) Epimorphismus, falls f surjektiv (in diesem Fall heißt A∗ homomorphes Bild von A), 5) Monomorphismus, falls f injektiv (in diesem Fall heißt A isomorph eingebettet in A∗ ).

Ani πbni [ani ]π = [bni ]π Daher ist [ωi a1 . . ani ]π = [ωi b1 . . bni ]π .      ⇒ ωi a1 . . ani πωi b1 . . bni . 4 Was heißt es, dass eine Funktion wohldefiniert ist? Wenn wir eine Funktion f auf einer Menge X durch eine Rechenvorschrift (etwa einen Term) t definieren, also f (x) := t(x) setzen, dann bedeutet das Wort wohldefiniert“ nur soviel, dass die Rechenvorschrift t tats¨ achlich f¨ ur jede Eingabe x ein Resultat t(x) ” ausgibt. Wenn wir aber f durch eine Formel (∗) f (t1 (x)) := t2 (x) definieren, enth¨ alt diese Definition“ implizit die Behauptung, dass es tats¨ achlich eine Funktion gibt, die ” jedem Element der Form t1 (x) das Element t2 (x) zuordnet.

12 Wegen dieser Charakterisierung sagen wir statt F ist in K frei u ¨ber B“ auch oft: F wird in K von B ” ” frei erzeugt“. 54 Beweis. Sei g : A1 → A2 ein Homomorphismus mit g↾E = f ↾E. Dann ist {x ∈ A1 | g(x) = f (x)} eine Unteralgebra von A1 , die ganz E enth¨alt, muss also ganz A1 sein. 4 Beispiel. Sei K ein K¨ orper, und sei V die Klasse der K-Vektorr¨aume. ) Sei V ∈ V, B ⊆ V . Dann gilt: V ist frei u ¨ber B ⇔ B ist Basis von V . Beweis. Sei B Basis von V . Dann l¨ asst sich jeder Vektor v ∈ V eindeutig als Linearkombination v = i λi bi von Elementen von B darstellen.